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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
7.
Calcular los siguientes límites:
c) \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{3 x^{2}}\)
c) \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{3 x^{2}}\)
Respuesta
Acá estamos de nuevo frente a una indeterminación "cero sobre cero" y tenemos que ver cómo hacemos para salvarla sin usar todavía L'Hopital. En el item anterior te mostré una forma (factorizar y rezar para se nos simplifique algo). Acá te voy a mostrar otra: Multiplicar y dividir por el conjugado.
$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{3x^2} \cdot \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}} $
$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{1-x^2})(1+\sqrt{1-x^2})}{3x^2(1+\sqrt{1-x^2})} $
$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1 - (1 - x^2)}{3x^2(1+\sqrt{1-x^2})} $
$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{3x^2(1+\sqrt{1-x^2})} $
Simplificamos y tomamos límite:
$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{3(1+\sqrt{1-x^2})} = \frac{1}{6} $